From Hugo Pfoertner (hugo (AT) pfoertner.org), Feb 02 2006 Comparison of lengths of addition chains produced by various methods covering the range n=2...2048. Binary method (OEIS A056792) l(n) = log_2(n) + (number of bits=1 in binary representation of n) - 1 Factor method (OEIS A064097): l(1) = 0; if n is prime l(n)=l(n-1)+1; else {n=j*k j,k>1; l(k*j)=l(k)+l(j)}, beats power tree only in very rare cases (6 for n<10^5): 19879 39758 43277 60749 79516 86554 121498 136199 159032 173069 173108 183929 242996 252941 272398 318064 346138 346216 362861 367757 367858 453281 456017 485992 505882 544796 561727 579193 603167 636128 637969 692276 692432 725722 735514 735709 735716 772193 906562 912034 931297 963649 971984 1011764 1051727 Knuth's power tree method (OEIS A114622): never worse than binary method, loses by 1 against shortest chain for n= 77 154 233 293 308 319 359 367 377 382 423 457 466 551 553 559 571 573 586 616 617 619 623 638 699 713 717 718 734 754 764 813 841 846 849 869 879 905 914 932 1007 1051 1063 1069 1102 1103 1106 1115 1118 1133 1137 1142 1146 1147 1157 1172 1175 1181 1207 1213 1231 1232 1234 1237 1238 1246 1255 1265 1269 1276 1335 1357 1369 1385 1387 1393 1398 1399 1402 1415 1417 1421 1426 1434 1436 1465 1468 1481 1486 1508 1528 1593 1609 1626 1641 1659 1671 1673 1681 1682 1692 1698 1711 1738 1758 1787 1801 1810 1828 1864 1867 1869 1883 1897 1901 1915 1999 2011 2014 2027 2029 2033 2039 2063 Shortest possible addition chains (OEIS A003313). Author: Hugo Pfoertner http://www.pfoertner.org/ Date of last change: Feb 2 2006 ----------------------------------------------------------- n=2....2048 plus selected values for which all 4 lengths are mutually different. n l_binary | | l_factor | | | l_power_tree | | | | l_shortest | | | | | Example of a shortest chain | | | | | omitting n and constant 2,1 at start 2 1 1 1 1 [ 2 1 ] 3 2 2 2 2 [ 3 2 1 ] 4 2 2 2 2 [ 4 2 1 ] 5 3 3 3 3 4 short for [ 5 4 2 1 ] 6 3 3 3 3 3 [ 6 3 2 1 ] 7 4 4 4 4 6 3 [ 7 6 3 2 1 ] 8 3 3 3 3 4 9 4 4 4 4 6 3 10 4 4 4 4 5 4 11 5 5 5 5 8 4 3 12 4 4 4 4 6 3 13 5 5 5 5 10 5 3 14 5 5 5 5 7 6 3 15 6 5 5 5 10 5 4 16 4 4 4 4 8 4 17 5 5 5 5 16 8 4 18 5 5 5 5 9 6 3 19 6 6 6 6 14 7 5 4 20 5 5 5 5 10 5 4 21 6 6 6 6 14 7 6 3 22 6 6 6 6 11 8 4 3 23 7 7 6 6 18 9 5 4 24 5 5 5 5 12 6 3 25 6 6 6 6 20 10 5 4 26 6 6 6 6 13 10 5 3 27 7 6 6 6 18 9 6 3 28 6 6 6 6 14 7 6 3 29 7 7 7 7 20 10 9 6 3 30 7 6 6 6 15 10 5 4 31 8 7 7 7 22 11 9 6 3 32 5 5 5 5 16 8 4 33 6 7 6 6 32 16 8 4 34 6 6 6 6 17 16 8 4 35 7 7 7 7 26 13 9 8 4 36 6 6 6 6 18 9 6 3 37 7 7 7 7 28 14 9 5 4 38 7 7 7 7 19 14 7 5 4 39 8 7 7 7 26 13 10 5 3 40 6 6 6 6 20 10 5 4 41 7 7 7 7 36 18 9 5 4 42 7 7 7 7 21 14 7 6 3 43 8 8 7 7 34 17 9 8 4 44 7 7 7 7 22 11 8 4 3 45 8 7 7 7 30 15 10 5 4 46 8 8 7 7 23 18 9 5 4 47 9 9 8 8 32 16 15 10 5 4 48 6 6 6 6 24 12 6 3 49 7 8 7 7 48 24 12 6 3 50 7 7 7 7 25 20 10 5 4 51 8 7 7 7 34 17 16 8 4 52 7 7 7 7 26 13 10 5 3 53 8 8 8 8 36 18 17 16 8 4 54 8 7 7 7 27 18 9 6 3 55 9 8 8 8 38 19 17 16 8 4 56 7 7 7 7 28 14 7 6 3 57 8 8 8 8 38 19 14 7 5 4 58 8 8 8 8 29 20 10 9 6 3 59 9 9 8 8 42 21 17 16 8 4 60 8 7 7 7 30 15 10 5 4 61 9 8 8 8 52 26 13 9 8 4 62 9 8 8 8 31 22 11 9 6 3 63 10 8 8 8 42 21 14 7 6 3 64 6 6 6 6 32 16 8 4 65 7 8 7 7 64 32 16 8 4 66 7 8 7 7 33 32 16 8 4 67 8 9 8 8 50 25 17 16 8 4 68 7 7 7 7 34 17 16 8 4 69 8 9 8 8 46 23 18 9 5 4 70 8 8 8 8 35 26 13 9 8 4 71 9 9 9 9 48 24 23 18 9 5 4 72 7 7 7 7 36 18 9 6 3 73 8 8 8 8 72 36 18 9 6 3 74 8 8 8 8 37 28 14 9 5 4 75 9 8 8 8 50 25 20 10 5 4 76 8 8 8 8 38 19 14 7 5 4 77 9 9 9 8 68 34 17 9 8 4 78 9 8 8 8 39 26 13 10 5 3 79 10 9 9 9 54 27 25 20 10 5 4 80 7 7 7 7 40 20 10 5 4 81 8 8 8 8 54 27 18 9 6 3 82 8 8 8 8 41 36 18 9 5 4 83 9 9 8 8 66 33 17 16 8 4 84 8 8 8 8 42 21 14 7 6 3 85 9 8 8 8 68 34 17 16 8 4 86 9 9 8 8 43 34 17 9 8 4 87 10 9 9 9 58 29 20 10 9 6 3 88 8 8 8 8 44 22 11 8 4 3 89 9 9 9 9 62 31 27 18 9 8 4 90 9 8 8 8 45 30 15 10 5 4 91 10 9 9 9 64 32 27 18 9 5 4 92 9 9 8 8 46 23 18 9 5 4 93 10 9 9 9 62 31 22 11 9 6 3 94 10 10 9 9 47 32 16 15 10 5 4 95 11 9 9 9 70 35 25 20 10 5 4 96 7 7 7 7 48 24 12 6 3 97 8 8 8 8 96 48 24 12 6 3 98 8 9 8 8 49 48 24 12 6 3 99 9 9 8 8 66 33 32 16 8 4 100 8 8 8 8 50 25 20 10 5 4 101 9 9 9 9 68 34 33 32 16 8 4 102 9 8 8 8 51 34 17 16 8 4 103 10 9 9 9 70 35 33 32 16 8 4 104 8 8 8 8 52 26 13 10 5 3 105 9 9 9 9 70 35 26 13 9 8 4 106 9 9 9 9 53 36 18 17 16 8 4 107 10 10 9 9 74 37 33 32 16 8 4 108 9 8 8 8 54 27 18 9 6 3 109 10 9 9 9 84 42 25 17 16 8 4 110 10 9 9 9 55 38 19 17 16 8 4 111 11 9 9 9 74 37 28 14 9 5 4 112 8 8 8 8 56 28 14 7 6 3 113 9 9 9 9 100 50 25 13 12 6 3 114 9 9 9 9 57 38 19 14 7 5 4 115 10 10 9 9 82 41 33 32 16 8 4 116 9 9 9 9 58 29 20 10 9 6 3 117 10 9 9 9 78 39 26 13 10 5 3 118 10 10 9 9 59 42 21 17 16 8 4 119 11 9 9 9 102 51 34 17 16 8 4 120 9 8 8 8 60 30 15 10 5 4 121 10 10 9 9 104 52 26 17 9 8 4 122 10 9 9 9 61 52 26 13 9 8 4 123 11 9 9 9 82 41 36 18 9 5 4 124 10 9 9 9 62 31 22 11 9 6 3 125 11 9 9 9 100 50 25 20 10 5 4 126 11 9 9 9 63 42 21 14 7 6 3 127 12 10 10 10 86 43 41 36 18 9 5 4 128 7 7 7 7 64 32 16 8 4 129 8 10 8 8 128 64 32 16 8 4 130 8 9 8 8 65 64 32 16 8 4 131 9 10 9 9 98 49 33 32 16 8 4 132 8 9 8 8 66 33 32 16 8 4 133 9 10 9 9 100 50 33 17 16 8 4 134 9 10 9 9 67 50 25 17 16 8 4 135 10 9 9 9 90 45 30 15 10 5 4 136 8 8 8 8 68 34 17 16 8 4 137 9 9 9 9 136 68 34 17 16 8 4 138 9 10 9 9 69 46 23 18 9 5 4 139 10 11 10 10 94 47 45 30 15 10 5 4 140 9 9 9 9 70 35 26 13 9 8 4 141 10 11 10 10 94 47 32 16 15 10 5 4 142 10 10 10 10 71 48 24 23 18 9 5 4 143 11 10 10 10 98 49 45 30 15 10 5 4 144 8 8 8 8 72 36 18 9 6 3 145 9 10 9 9 136 68 34 17 9 8 4 146 9 9 9 9 73 72 36 18 9 6 3 147 10 10 9 9 98 49 48 24 12 6 3 148 9 9 9 9 74 37 28 14 9 5 4 149 10 10 9 9 132 66 33 17 16 8 4 150 10 9 9 9 75 50 25 20 10 5 4 151 11 10 10 10 102 51 49 48 24 12 6 3 152 9 9 9 9 76 38 19 14 7 5 4 153 10 9 9 9 102 51 34 17 16 8 4 154 10 10 10 9 77 68 34 17 9 8 4 155 11 10 10 10 104 52 51 34 17 16 8 4 156 10 9 9 9 78 39 26 13 10 5 3 157 11 10 10 10 106 53 51 34 17 16 8 4 158 11 10 10 10 79 54 27 25 20 10 5 4 159 12 10 10 10 106 53 36 18 17 16 8 4 160 8 8 8 8 80 40 20 10 5 4 161 9 11 9 9 160 80 40 20 10 5 4 162 9 9 9 9 81 54 27 18 9 6 3 163 10 10 9 9 130 65 33 32 16 8 4 164 9 9 9 9 82 41 36 18 9 5 4 165 10 10 9 9 132 66 33 32 16 8 4 166 10 10 9 9 83 66 33 17 16 8 4 167 11 11 10 10 130 65 37 28 14 9 5 4 168 9 9 9 9 84 42 21 14 7 6 3 169 10 10 10 10 118 59 51 34 17 16 8 4 170 10 9 9 9 85 68 34 17 16 8 4 171 11 10 10 10 114 57 38 19 14 7 5 4 172 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