Symmetry groups of densest packings of equal spheres in a sphere Author: Hugo Pfoertner http://www.pfoertner.org/ URL of this file: http://www.randomwalk.de/sphere/insphr/sphinsphsyms.txt Date of laste change: July 22 2006 The coordinates of the corresponding configurations are stored at http://www.randomwalk.de/sphere/insphr/sequences.txt and http://www.randomwalk.de/sequences/a084827.txt 0.001 N= 4 ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3 4) ( 1)( 2 3)( 4) ( 1)( 2 3 4) ( 1)( 2 4 3) ( 1)( 2 4)( 3) ( 1 2)( 3)( 4) ( 1 2)( 3 4) ( 1 2 3)( 4) ( 1 2 3 4) ( 1 2 4 3) ( 1 2 4)( 3) ( 1 3 2)( 4) ( 1 3 4 2) ( 1 3)( 2)( 4) ( 1 3 4)( 2) ( 1 3)( 2 4) ( 1 3 2 4) ( 1 4 3 2) ( 1 4 2)( 3) ( 1 4 3)( 2) ( 1 4)( 2)( 3) ( 1 4 2 3) ( 1 4)( 2 3) Tetrahedron C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 5 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 2)( 3 4)( 5) ( 1)( 2 3)( 4)( 5) ( 1)( 2 3 4)( 5) ( 1)( 2 4 3)( 5) ( 1)( 2 4)( 3)( 5) ( 1 5)( 2)( 3)( 4) ( 1 5)( 2)( 3 4) ( 1 5)( 2 3)( 4) ( 1 5)( 2 3 4) ( 1 5)( 2 4 3) ( 1 5)( 2 4)( 3) dihedral O 12 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 6 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6) ( 1)( 2)( 3 5)( 4)( 6) ( 1)( 2 3)( 4 5)( 6) ( 1)( 2 3 4 5)( 6) ( 1)( 2 4)( 3)( 5)( 6) ( 1)( 2 4)( 3 5)( 6) ( 1)( 2 5 4 3)( 6) ( 1)( 2 5)( 3 4)( 6) ( 1 6)( 2)( 3)( 4)( 5) ( 1 6)( 2)( 3 5)( 4) ( 1 6)( 2 3)( 4 5) ( 1 6)( 2 3 4 5) ( 1 6)( 2 4)( 3)( 5) ( 1 6)( 2 4)( 3 5) ( 1 6)( 2 5 4 3) ( 1 6)( 2 5)( 3 4) ( 1 2)( 3)( 4 6)( 5) ( 1 2)( 3 5)( 4 6) ( 1 2 6 4)( 3)( 5) ( 1 2 6 4)( 3 5) ( 1 2 3)( 4 5 6) ( 1 2 3 6 4 5) ( 1 2 5 6 4 3) ( 1 2 5)( 3 6 4) ( 1 3 2)( 4 6 5) ( 1 3 4 6 5 2) ( 1 3 2 6 5 4) ( 1 3 4)( 2 6 5) ( 1 3)( 2)( 4)( 5 6) ( 1 3 6 5)( 2)( 4) ( 1 3)( 2 4)( 5 6) ( 1 3 6 5)( 2 4) ( 1 4 6 2)( 3)( 5) ( 1 4 6 2)( 3 5) ( 1 4)( 2 6)( 3)( 5) ( 1 4)( 2 6)( 3 5) ( 1 4 5 6 2 3) ( 1 4 5)( 2 3 6) ( 1 4 3)( 2 5 6) ( 1 4 3 6 2 5) ( 1 5 4 6 3 2) ( 1 5 2)( 3 4 6) ( 1 5 4)( 2 6 3) ( 1 5 2 6 3 4) ( 1 5 6 3)( 2)( 4) ( 1 5)( 2)( 3 6)( 4) ( 1 5 6 3)( 2 4) ( 1 5)( 2 4)( 3 6) Octahedron O 48 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 7 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7) ( 1)( 2)( 3 4)( 5 7)( 6) ( 1)( 2 4)( 3)( 5 6)( 7) ( 1)( 2 4 3)( 5 7 6) ( 1)( 2 3 4)( 5 6 7) ( 1)( 2 3)( 4)( 5)( 6 7) dihedral O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 8 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8) ( 1 3)( 2)( 4)( 5 6)( 7 8) ( 1 5)( 2 8)( 3 7)( 4 6) ( 1 7 2 8 3 5 4 6) ( 1 4)( 2 3)( 5 7)( 6)( 8) ( 1 2 3 4)( 5 6 7 8) ( 1 5 2 6 3 7 4 8) ( 1 7)( 2 6)( 3 5)( 4 8) ( 1 2)( 3 4)( 5)( 6 8)( 7) ( 1 4 3 2)( 5 8 7 6) ( 1 3)( 2 4)( 5 7)( 6 8) ( 1)( 2 4)( 3)( 5 8)( 6 7) ( 1 6)( 2 5)( 3 8)( 4 7) ( 1 8 4 7 3 6 2 5) ( 1 6 4 5 3 8 2 7) ( 1 8)( 2 7)( 3 6)( 4 5) dihedral O 16 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 9 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9) ( 1 3)( 2)( 4)( 5 6)( 7 9)( 8) ( 1 8)( 2 7)( 3 9)( 4 6)( 5) ( 1 9 2 7 3 8)( 4 6 5) ( 1)( 2 3)( 4 5)( 6)( 7)( 8 9) ( 1 2 3)( 4 5 6)( 7 8 9) ( 1 2)( 3)( 4 6)( 5)( 7 8)( 9) ( 1 3 2)( 4 6 5)( 7 9 8) ( 1 9)( 2 8)( 3 7)( 4)( 5 6) ( 1 7)( 2 8)( 3 9)( 4)( 5)( 6) ( 1 8 3 7 2 9)( 4 5 6) ( 1 7)( 2 9)( 3 8)( 4 5)( 6) dihedral O 12 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 10 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10) ( 1 10)( 2 9)( 3 8)( 4 7)( 5 6) ( 1)( 2)( 3 4)( 5 6)( 7 8)( 9)(10) ( 1 10)( 2 9)( 3 7)( 4 8)( 5)( 6) dihedral O 4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 11 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11) ( 1)( 2 6)( 3 5)( 4)( 7 10)( 8 9)(11) ( 1)( 2 4)( 3)( 5 6)( 7 8)( 9 11)(10) ( 1)( 2 5 3 6 4)( 7 10 8 11 9) ( 1)( 2 5)( 3 4)( 6)( 7 9)( 8)(10 11) ( 1)( 2 6 5 4 3)( 7 11 10 9 8) ( 1)( 2 3 4 5 6)( 7 8 9 10 11) ( 1)( 2)( 3 6)( 4 5)( 7 11)( 8 10)( 9) ( 1)( 2 4 6 3 5)( 7 9 11 8 10) ( 1)( 2 3)( 4 6)( 5)( 7)( 8 11)( 9 10) dihedral O 10 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 12 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12) ( 1 9)( 2 12)( 3 8)( 4)( 5)( 6 10)( 7)(11) ( 1 5)( 2 10)( 3 9)( 4)( 6)( 7 12)( 8)(11) ( 1 3 8 9 5)( 2 7 12 10 6)( 4)(11) ( 1)( 2 6)( 3 5)( 4)( 7 10)( 8 9)(11)(12) ( 1 8 5 3 9)( 2 12 6 7 10)( 4)(11) ( 1 9 3 5 8)( 2 10 7 6 12)( 4)(11) ( 1 3)( 2)( 4)( 5 8)( 6 7)( 9)(10 12)(11) ( 1 8)( 2 7)( 3)( 4)( 5 9)( 6 12)(10)(11) ( 1 5 9 8 3)( 2 6 10 12 7)( 4)(11) ( 1 7)( 2 3)( 4 11)( 5 12)( 6 8)( 9 10) ( 1 10 8 2 5 12 3 6 9 7)( 4 11) ( 1 7 9 6 3 12 5 2 8 10)( 4 11) ( 1 6)( 2 5)( 3 10)( 4 11)( 7 9)( 8 12) ( 1 10)( 2 9)( 3 12)( 4 11)( 5 6)( 7 8) ( 1 2 3 7 8 12 9 10 5 6)( 4 11) ( 1 12)( 2 9)( 3 10)( 4 11)( 5 7)( 6 8) ( 1 2)( 3 6)( 4 11)( 5 7)( 8 10)( 9 12) ( 1 12)( 2 8)( 3 7)( 4 11)( 5 10)( 6 9) ( 1 6 5 10 9 12 8 7 3 2)( 4 11) ( 1)( 2)( 3 6)( 4 5)( 7 11)( 8 10)( 9)(12) ( 1 9)( 2 12)( 3 10)( 4 5)( 6 8)( 7 11) ( 1 4 5)( 2 8 10)( 3 9 6)( 7 12 11) ( 1 6 2 11 7 12 8 9 4 5)( 3 10) ( 1)( 2 3 4 5 6)( 7 8 9 10 11)(12) ( 1 10 2 12 3 9)( 4 5 6 11 7 8) ( 1 4 5 9 10 12 11 7 2 3)( 6 8) ( 1 10 8)( 2 11 7)( 3 6 12)( 4 5 9) ( 1 9 6 12 2 8)( 3 4 5 10 11 7) ( 1 6 11 7 3)( 2)( 4 5 10 12 8)( 9) ( 1 7 4 12 5 11)( 2 3 8 9 10 6) ( 1 10 2 5 11)( 3 9 7 4 12)( 6)( 8) ( 1 11)( 2 6)( 3 10)( 4 12)( 5 7)( 8 9) ( 1 8 10 2 4 12 6 3 9 11)( 5 7) ( 1 7 6 3 11)( 2)( 4 12 5 8 10)( 9) ( 1 9 7 6 4 12 2 5 8 11)( 3 10) ( 1 10 4 12 3 11)( 2 6 5 9 8 7) ( 1 8 11)( 2 3 7)( 4 12 6)( 5 9 10) ( 1 11)( 2)( 3 7)( 4 12)( 5 10)( 6)( 8)( 9) ( 1 9 11)( 2 4 12)( 3 8 7)( 5 10 6) ( 1 5 4)( 2 10 8)( 3 6 9)( 7 11 12) ( 1 3 2 7 11 12 10 9 5 4)( 6 8) ( 1 4)( 2 8)( 3)( 5)( 6 9)( 7)(10)(11 12) ( 1 6 10 9 4)( 2 11 12 8 3)( 5)( 7) ( 1 6 11 12 8 4)( 2 10 7 9 3 5) ( 1 3 4)( 2 8 5)( 6 7 9)(10 11 12) ( 1 4)( 2 9)( 3 5)( 6 8)( 7 10)(11 12) ( 1 2 11 12 9 4)( 3 6 7 10 8 5) ( 1 5 6 10 11 12 7 8 3 4)( 2 9) ( 1 2 7 8 4)( 3)( 5 6 11 12 9)(10) ( 1 7 4 2 8)( 3)( 5 11 9 6 12)(10) ( 1 6 10 12 8 3)( 2 5 11 9 7 4) ( 1 6 5)( 2 10 4)( 3 11 9)( 7 12 8) ( 1 3 7 12 10 5)( 2 8 11 9 6 4) ( 1 7 10 4 2 12 5 3 11 9)( 6 8) ( 1)( 2 5 3 6 4)( 7 10 8 11 9)(12) ( 1 11 9)( 2 12 4)( 3 7 8)( 5 6 10) ( 1)( 2 4)( 3)( 5 6)( 7 8)( 9 11)(10)(12) ( 1 11 9 3 6 12 4 2 10 8)( 5 7) ( 1 3)( 2 4)( 5 7)( 6 8)( 9 11)(10 12) ( 1)( 2 6 5 4 3)( 7 11 10 9 8)(12) ( 1 8 2 12 6 9)( 3 7 11 10 5 4) ( 1 4 3 8 7 12 11 10 6 5)( 2 9) ( 1 2 11 10 5)( 3 7 12 9 4)( 6)( 8) ( 1 7 9)( 2 12 5)( 3 8 4)( 6 11 10) ( 1)( 2 5)( 3 4)( 6)( 7 9)( 8)(10 11)(12) ( 1 8)( 2 9)( 3 4)( 5 7)( 6 12)(10 11) ( 1 2 6 11 10 12 9 8 4 3)( 5 7) ( 1 4 3)( 2 5 8)( 6 9 7)(10 12 11) ( 1 7 6 12 5 8)( 2 11 10 9 4 3) ( 1 10 7 4 6 12 3 5 11 8)( 2 9) ( 1 2 3)( 4 6 7)( 5 11 8)( 9 10 12) ( 1)( 2 3)( 4 6)( 5)( 7)( 8 11)( 9 10)(12) ( 1 10 4 6 9)( 2 12 3 11 8)( 5)( 7) ( 1 5)( 2 9)( 3 10)( 4 6)( 7 12)( 8 11) ( 1 2 7 12 9 5)( 3 11 8 10 4 6) ( 1 11 8 5 2 12 4 6 7 9)( 3 10) ( 1)( 2 4 6 3 5)( 7 9 11 8 10)(12) ( 1 11 8)( 2 7 3)( 4 6 12)( 5 10 9) ( 1 5 10 12 7 3)( 2 4 6 9 11 8) ( 1 12)( 2 9)( 3 8)( 4 7)( 5 11)( 6 10) ( 1 2)( 3)( 4 7)( 5 11)( 6)( 8)( 9 12)(10) ( 1 11 5 12 4 7)( 2 6 10 9 8 3) ( 1 8 2 4 7)( 3)( 5 12 6 9 11)(10) ( 1 11 5 2 10)( 3 12 4 7 9)( 6)( 8) ( 1 3 8 12 10 6)( 2 4 7 9 11 5) ( 1 8 11 5 3 12 6 4 7 10)( 2 9) ( 1 2 6)( 3 11 5)( 4 7 10)( 8 12 9) ( 1 12)( 2 10 4 7 6 9 3 11 5 8) ( 1 3 2)( 4 7 6)( 5 8 11)( 9 12 10) ( 1 9 3 12 2 10)( 4 8 7 11 6 5) ( 1 3 7 11 6)( 2)( 4 8 12 10 5)( 9) ( 1 7)( 2)( 3)( 4 8)( 5 12)( 6 11)( 9)(10) ( 1 9 7)( 2 5 12)( 3 4 8)( 6 10 11) ( 1 4 8 12 11 6)( 2 5 3 9 7 10) ( 1 7 10)( 2 11 6)( 3 12 5)( 4 8 9) ( 1 12)( 2 10)( 3 9)( 4 8)( 5 7)( 6 11) ( 1 3 4 8 9 12 10 11 6 2)( 5 7) ( 1 4 8 7 2)( 3)( 5 9 12 11 6)(10) ( 1 12)( 2 11 6 10 5 9 4 8 3 7) ( 1 8 10)( 2 7 11)( 3 12 6)( 4 9 5) ( 1 5 4 9 8 12 7 11 2 6)( 3 10) ( 1 4 9 10 6)( 2 3 8 12 11)( 5)( 7) ( 1 10)( 2 11)( 3 12)( 4 9)( 5)( 6)( 7)( 8) ( 1 10 7)( 2 6 11)( 3 5 12)( 4 9 8) ( 1 8 5 12 6 7)( 2 3 4 9 10 11) ( 1 4 9 12 11 2)( 3 5 8 10 7 6) ( 1 12)( 2 11)( 3 10)( 4 9)( 5 8)( 6 7) ( 1 12)( 2 7 3 8 4 9 5 10 6 11) ( 1 5 10 11 2)( 3 4 9 12 7)( 6)( 8) ( 1 12)( 2 8 5 11 3 9 6 7 4 10) ( 1 6 2)( 3 5 11)( 4 10 7)( 8 9 12) ( 1 9 6 4 10)( 2 8 11 3 12)( 5)( 7) ( 1 6)( 2)( 3 11)( 4 10)( 5)( 7)( 8 12)( 9) ( 1 11 3 6 7)( 2)( 4 10 8 5 12)( 9) ( 1 9 11 3 5 12 2 4 10 7)( 6 8) ( 1 11 3 12 4 10)( 2 7 8 9 5 6) ( 1 5 6)( 2 4 10)( 3 9 11)( 7 8 12) ( 1 12)( 2 7)( 3 11)( 4 10)( 5 9)( 6 8) ( 1 5 9 12 7 2)( 3 6 4 10 8 11) Icosahedron C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 13 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13) ( 1)( 2)( 3 7)( 4 6)( 5)( 8 11)( 9 10)(12)(13) ( 1)( 2)( 3 5)( 4)( 6 7)( 8 9)(10 12)(11)(13) ( 1)( 2)( 3 6 4 7 5)( 8 11 9 12 10)(13) ( 1)( 2)( 3 7 6 5 4)( 8 12 11 10 9)(13) ( 1)( 2)( 3 6)( 4 5)( 7)( 8 10)( 9)(11 12)(13) ( 1)( 2)( 3)( 4 7)( 5 6)( 8 12)( 9 11)(10)(13) ( 1)( 2)( 3 4 5 6 7)( 8 9 10 11 12)(13) ( 1)( 2)( 3 5 7 4 6)( 8 10 12 9 11)(13) ( 1)( 2)( 3 4)( 5 7)( 6)( 8)( 9 12)(10 11)(13) ( 1)( 2 13)( 3 8)( 4 12)( 5 11)( 6 10)( 7 9) ( 1)( 2 13)( 3 9 6 12 4 10 7 8 5 11) ( 1)( 2 13)( 3 11 5 8 7 10 4 12 6 9) ( 1)( 2 13)( 3 10)( 4 9)( 5 8)( 6 12)( 7 11) ( 1)( 2 13)( 3 11)( 4 10)( 5 9)( 6 8)( 7 12) ( 1)( 2 13)( 3 12 7 11 6 10 5 9 4 8) ( 1)( 2 13)( 3 12)( 4 11)( 5 10)( 6 9)( 7 8) ( 1)( 2 13)( 3 8 4 9 5 10 6 11 7 12) ( 1)( 2 13)( 3 10)( 4 11)( 5 12)( 6 8)( 7 9) ( 1)( 2 13)( 3 9)( 4 8)( 5 12)( 6 11)( 7 10) ( 1)( 2 5)( 3 9)( 4)( 6)( 7 10)( 8)(11)(12 13) ( 1)( 2 5)( 3 10)( 4 6)( 7 9)( 8 11)(12 13) ( 1)( 2 5 4)( 3 6 9)( 7 10 8)(11 13 12) ( 1)( 2 5 4 9 8 13 12 11 7 6)( 3 10) ( 1)( 2 5 6 10 11 13 12 8 3 4)( 7 9) ( 1)( 2 5 6)( 3 9 11)( 4 10 7)( 8 13 12) ( 1)( 2 5 9 8 3)( 4)( 6 10 13 12 7)(11) ( 1)( 2 5 9 13 12 7)( 3 6 4 10 8 11) ( 1)( 2 5 10 11 7)( 3 4 9 13 12)( 6)( 8) ( 1)( 2 5 10 13 12 3)( 4 6 9 11 8 7) ( 1)( 2 11 5 13 4 12)( 3 7 6 10 9 8) ( 1)( 2 11 3 6 12)( 4 10 8 5 13)( 7)( 9) ( 1)( 2 11 3 13 4 10)( 5 6 7 12 8 9) ( 1)( 2 11 9)( 3 12 8)( 4 7 13)( 5 6 10) ( 1)( 2 11 5 7 10)( 3 13 4 12 9)( 6)( 8) ( 1)( 2 11 8 5 7 13 4 6 12 9)( 3 10) ( 1)( 2 11)( 3 12)( 4 13)( 5 10)( 6)( 7)( 8)( 9) ( 1)( 2 11 8)( 3 7 12)( 4 6 13)( 5 10 9) ( 1)( 2 11)( 3 10)( 4 13)( 5 12)( 6 7)( 8 9) ( 1)( 2 11 9 3 6 13 4 7 10 8)( 5 12) ( 1)( 2 3 8 9 5)( 4)( 6 7 12 13 10)(11) ( 1)( 2 3 12 13 10 5)( 4 7 8 11 9 6) ( 1)( 2 3 7 12 11 13 10 9 5 4)( 6 8) ( 1)( 2 3 12 11 6)( 4 8 13 10 5)( 7)( 9) ( 1)( 2 3 4)( 5 7 8)( 6 12 9)(10 11 13) ( 1)( 2 3 8 13 10 6)( 4 12 9 11 5 7) ( 1)( 2 3 7)( 4 12 6)( 5 8 11)( 9 13 10) ( 1)( 2 3)( 4)( 5 8)( 6 12)( 7)( 9)(10 13)(11) ( 1)( 2 3 4 8 9 13 10 11 6 7)( 5 12) ( 1)( 2 3)( 4 7)( 5 12)( 6 8)( 9 11)(10 13) ( 1)( 2 4 3 8 12 13 11 10 6 5)( 7 9) ( 1)( 2 4 5)( 3 9 6)( 7 8 10)(11 12 13) ( 1)( 2 4)( 3)( 5)( 6 9)( 7 8)(10)(11 13)(12) ( 1)( 2 4 9 10 6)( 3 8 13 11 7)( 5)(12) ( 1)( 2 4)( 3 5)( 6 8)( 7 9)(10 12)(11 13) ( 1)( 2 4 8 13 11 6)( 3 9 12 10 7 5) ( 1)( 2 4 9 13 11 7)( 3 5 8 10 12 6) ( 1)( 2 4 3)( 5 8 7)( 6 9 12)(10 13 11) ( 1)( 2 4 8 12 7)( 3)( 5 9 13 11 6)(10) ( 1)( 2 4 5 9 10 13 11 12 7 3)( 6 8) ( 1)( 2 6 5)( 3 11 9)( 4 7 10)( 8 12 13) ( 1)( 2 6 7 11 12 13 8 9 4 5)( 3 10) ( 1)( 2 6 10 9 4)( 3 7 11 13 8)( 5)(12) ( 1)( 2 6)( 3 11)( 4 10)( 5)( 7)( 8 13)( 9)(12) ( 1)( 2 6 7)( 3 5 11)( 4 10 12)( 8 9 13) ( 1)( 2 6 10 13 8 3)( 4 7 5 11 9 12) ( 1)( 2 6 11 13 8 4)( 3 5 7 10 12 9) ( 1)( 2 6)( 3 10)( 4 11)( 5 7)( 8 13)( 9 12) ( 1)( 2 6 5 10 9 13 8 12 3 7)( 4 11) ( 1)( 2 6 11 12 3)( 4 5 10 13 8)( 7)( 9) ( 1)( 2 7 12 13 9 5)( 3 11 8 10 4 6) ( 1)( 2 7 11 10 5)( 3 12 13 9 4)( 6)( 8) ( 1)( 2 7)( 3)( 4 12)( 5 11)( 6)( 8)( 9 13)(10) ( 1)( 2 7 3)( 4 6 12)( 5 11 8)( 9 10 13) ( 1)( 2 7 11 13 9 4)( 3 6 12 10 8 5) ( 1)( 2 7 6)( 3 11 5)( 4 12 10)( 8 13 9) ( 1)( 2 7 12 8 4)( 3)( 5 6 11 13 9)(10) ( 1)( 2 7 3 12 8 13 9 10 5 6)( 4 11) ( 1)( 2 7)( 3 6)( 4 11)( 5 12)( 8 10)( 9 13) ( 1)( 2 7 6 11 10 13 9 8 4 3)( 5 12) ( 1)( 2 8 7 4 12)( 3)( 5 13 6 9 11)(10) ( 1)( 2 8 5 13 6 12)( 3 4 9 10 11 7) ( 1)( 2 8 11 5 3 13 6 4 12 10)( 7 9) ( 1)( 2 8 5 3 9)( 4)( 6 12 10 7 13)(11) ( 1)( 2 8 10)( 3 13 6)( 4 9 5)( 7 12 11) ( 1)( 2 8 7 13 6 9)( 3 12 11 10 5 4) ( 1)( 2 8 11)( 3 12 7)( 4 13 6)( 5 9 10) ( 1)( 2 8)( 3)( 4)( 5 9)( 6 13)( 7 12)(10)(11) ( 1)( 2 8 10 7 4 13 6 3 9 11)( 5 12) ( 1)( 2 8)( 3 4)( 5 12)( 6 13)( 7 9)(10 11) ( 1)( 2 9 11 3 5 13 7 4 10 12)( 6 8) ( 1)( 2 9 12)( 3 4 8)( 5 13 7)( 6 10 11) ( 1)( 2 9)( 3 8)( 4)( 5)( 6 10)( 7 13)(11)(12) ( 1)( 2 9 6 4 10)( 3 13 7 8 11)( 5)(12) ( 1)( 2 9 3 13 7 10)( 4 8 12 11 6 5) ( 1)( 2 9)( 3 10)( 4 5)( 6 8)( 7 13)(11 12) ( 1)( 2 9 12 6 4 13 7 5 8 11)( 3 10) ( 1)( 2 9 3 5 8)( 4)( 6 13 7 10 12)(11) ( 1)( 2 9 11)( 3 8 12)( 4 13 7)( 5 10 6) ( 1)( 2 9 6 13 7 8)( 3 4 5 10 11 12) ( 1)( 2 10 8 7 5 13 3 6 9 12)( 4 11) ( 1)( 2 10 12)( 3 5 13)( 4 9 8)( 6 11 7) ( 1)( 2 10)( 3 13)( 4 9)( 5)( 6)( 7 11)( 8)(12) ( 1)( 2 10 4 6 9)( 3 11 8 7 13)( 5)(12) ( 1)( 2 10 7 5 11)( 3 9 12 4 13)( 6)( 8) ( 1)( 2 10 12 4 6 13 3 5 11 8)( 7 9) ( 1)( 2 10)( 3 13)( 4 11)( 5 6)( 7 9)( 8 12) ( 1)( 2 10 7 13 3 9)( 4 5 6 11 12 8) ( 1)( 2 10 4 13 3 11)( 5 9 8 12 7 6) ( 1)( 2 10 8)( 3 6 13)( 4 5 9)( 7 11 12) ( 1)( 2 12)( 3 7)( 4 11)( 5 13)( 6 8)( 9 10) ( 1)( 2 12)( 3)( 4 8)( 5 13)( 6 11)( 7)( 9)(10) ( 1)( 2 12 4 13 5 11)( 3 8 9 10 6 7) ( 1)( 2 12 4 7 8)( 3)( 5 11 9 6 13)(10) ( 1)( 2 12 10)( 3 13 5)( 4 8 9)( 6 7 11) ( 1)( 2 12 10 4 7 13 5 3 11 9)( 6 8) ( 1)( 2 12 9 6 3 13 5 7 8 10)( 4 11) ( 1)( 2 12 9)( 3 8 4)( 5 7 13)( 6 11 10) ( 1)( 2 12 6 3 11)( 4 13 5 8 10)( 7)( 9) ( 1)( 2 12 6 13 5 8)( 3 7 11 10 9 4) Icosahedron C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 14 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14) ( 1)( 2)( 3 4)( 5 6)( 7)( 8 10)( 9)(11 12)(13 14) ( 1)( 2)( 3 6)( 4 5)( 7 9)( 8)(10)(11 14)(12 13) ( 1)( 2)( 3 5)( 4 6)( 7 9)( 8 10)(11 13)(12 14) ( 1)( 2)( 3 5)( 4)( 6)( 7 8)( 9 10)(11 13)(12)(14) ( 1)( 2)( 3 4 5 6)( 7 8 9 10)(11 12 13 14) ( 1)( 2)( 3 6 5 4)( 7 10 9 8)(11 14 13 12) ( 1)( 2)( 3)( 4 6)( 5)( 7 10)( 8 9)(11)(12 14)(13) dihedral O 8 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 15 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15) ( 1)( 2)( 3)( 4 7)( 5 6)( 8)( 9 10)(11 14)(12 13)(15) ( 1)( 2)( 3 8)( 4 6)( 5 7)( 9)(10)(11 13)(12 14)(15) ( 1)( 2)( 3 8)( 4 5)( 6 7)( 9 10)(11 12)(13 14)(15) ( 1)( 2 15)( 3 10)( 4 12)( 5 11)( 6 13)( 7 14)( 8 9) ( 1)( 2 15)( 3 10 8 9)( 4 14 5 13)( 6 11 7 12) ( 1)( 2 15)( 3 9 8 10)( 4 13 5 14)( 6 12 7 11) ( 1)( 2 15)( 3 9)( 4 11)( 5 12)( 6 14)( 7 13)( 8 10) dihedral O 8 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 16 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 17 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17) ( 1)( 2 4)( 3)( 5)( 6 8)( 7 9)(10)(11 12)(13)(14 17)(15 16) ( 1)( 2)( 3 5)( 4)( 6 9)( 7 8)(10 13)(11)(12)(14 15)(16 17) ( 1)( 2 4)( 3 5)( 6 7)( 8 9)(10 13)(11 12)(14 16)(15 17) ( 1)( 2 14 5 17 4 16 3 15)( 6 12 9 13 7 11 8 10) ( 1)( 2 16)( 3 15)( 4 14)( 5 17)( 6 10)( 7 13)( 8 12)( 9 11) ( 1)( 2 14)( 3 17)( 4 16)( 5 15)( 6 13)( 7 10)( 8 11)( 9 12) ( 1)( 2 16 5 15 4 14 3 17)( 6 11 9 10 7 12 8 13) ( 1)( 2 15 3 16 4 17 5 14)( 6 10 8 11 7 13 9 12) ( 1)( 2 17)( 3 16)( 4 15)( 5 14)( 6 11)( 7 12)( 8 10)( 9 13) ( 1)( 2 15)( 3 14)( 4 17)( 5 16)( 6 12)( 7 11)( 8 13)( 9 10) ( 1)( 2 17 3 14 4 15 5 16)( 6 13 8 12 7 10 9 11) ( 1)( 2 3 4 5)( 6 8 7 9)(10 11 13 12)(14 15 16 17) ( 1)( 2 5)( 3 4)( 6 7)( 8)( 9)(10 11)(12 13)(14)(15 17)(16) ( 1)( 2 3)( 4 5)( 6)( 7)( 8 9)(10 12)(11 13)(14 16)(15)(17) ( 1)( 2 5 4 3)( 6 9 7 8)(10 12 13 11)(14 17 16 15) didedral O 16 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 18 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18) ( 1)( 2)( 3 4)( 5 6)( 7 8)( 9)(10)(11 14)(12 13)(15)(16)(17 18) ( 1)( 2)( 3 6)( 4 5)( 7)( 8)( 9 10)(11 13)(12 14)(15 16)(17)(18) ( 1)( 2)( 3 5)( 4 6)( 7 8)( 9 10)(11 12)(13 14)(15 16)(17 18) dihedral O 4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 19 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19) ( 1)( 2 3)( 4 5)( 6 7)( 8 9)(10 11)(12 13)(14 15)(16 17)(18 19) cyclic O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 20 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20) ( 1)( 2)( 3 5)( 4 6)( 7)( 8)( 9 10)(11 12)(13 14)(15)(16)(17 18)(19 20) Mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 21 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21) ( 1)( 2)( 3)( 4 6)( 5)( 7 8)( 9 14)(10 12)(11 13)(15)(16 17)(18 20)(19)(21) ( 1)( 2)( 3 7)( 4)( 5 6)( 8)( 9 10)(11 14)(12 13)(15 16)(17)(18)(19 20)(21) ( 1)( 2)( 3 7 8)( 4 5 6)( 9 11 12)(10 13 14)(15 16 17)(18 19 20)(21) ( 1)( 2)( 3 8 7)( 4 6 5)( 9 12 11)(10 14 13)(15 17 16)(18 20 19)(21) ( 1)( 2)( 3 8)( 4 5)( 6)( 7)( 9 13)(10 11)(12 14)(15 17)(16)(18 19)(20)(21) ( 1)( 2 21)( 3 15)( 4 18)( 5 19)( 6 20)( 7 16)( 8 17)( 9)(10)(11)(12)(13)(14) ( 1)( 2 21)( 3 15)( 4 20)( 5 19)( 6 18)( 7 17)( 8 16)( 9 14)(10 12)(11 13) ( 1)( 2 21)( 3 16)( 4 18)( 5 20)( 6 19)( 7 15)( 8 17)( 9 10)(11 14)(12 13) ( 1)( 2 21)( 3 16 8 15 7 17)( 4 19 6 18 5 20)( 9 11 12)(10 13 14) ( 1)( 2 21)( 3 17 7 15 8 16)( 4 20 5 18 6 19)( 9 12 11)(10 14 13) ( 1)( 2 21)( 3 17)( 4 19)( 5 18)( 6 20)( 7 16)( 8 15)( 9 13)(10 11)(12 14) dihedral O 12 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 22 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 23 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 24 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 25 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25) ( 1 24)( 2 23)( 3 22)( 4 25)( 5 19)( 6 18)( 7 21)( 8 20)( 9 16)(10 15)(11 14)(12 17)(13) ( 1 6 23 21)( 2 15 22 9)( 3 19 25 8)( 4 11 24 17)( 5 10 18 14)( 7 16 20 12)(13) ( 1 18 11)( 2 10 6)( 3 5 15)( 4 14 19)( 7 9 23)( 8 22 16)(12 21 24)(13)(17 25 20) ( 1 2 3 4)( 5 6 7 8)( 9 10 11 12)(13)(14 15 16 17)(18 19 20 21)(22 23 24 25) ( 1 3)( 2 4)( 5 7)( 6 8)( 9 11)(10 12)(13)(14 16)(15 17)(18 20)(19 21)(22 24)(23 25) ( 1 4 3 2)( 5 8 7 6)( 9 12 11 10)(13)(14 17 16 15)(18 21 20 19)(22 25 24 23) ( 1 5 9)( 2 14 8)( 3 18 17)( 4 10 21)( 6 22 12)( 7 15 25)(11 23 20)(13)(16 19 24) ( 1 7 17)( 2 16 21)( 3 20 9)( 4 12 8)( 5 11 25)( 6 24 14)(10 19 22)(13)(15 23 18) ( 1 8)( 2 17)( 3 21)( 4 9)( 5 12)( 6 25)( 7 14)(10 20)(11 22)(13)(15 24)(16 18)(19 23) ( 1 9 5)( 2 8 14)( 3 17 18)( 4 21 10)( 6 12 22)( 7 25 15)(11 20 23)(13)(16 24 19) ( 1 10)( 2 5)( 3 14)( 4 18)( 6 9)( 7 22)( 8 15)(11 21)(12 23)(13)(16 25)(17 19)(20 24) ( 1 11 18)( 2 6 10)( 3 15 5)( 4 19 14)( 7 23 9)( 8 16 22)(12 24 21)(13)(17 20 25) ( 1 12 25 14)( 2 7 24 18)( 3 16 23 10)( 4 20 22 5)( 6 11 19 15)( 8 17 21 9)(13) ( 1 14 25 12)( 2 18 24 7)( 3 10 23 16)( 4 5 22 20)( 6 15 19 11)( 8 9 21 17)(13) ( 1 15 20)( 2 19 12)( 3 11 7)( 4 6 16)( 5 23 17)( 8 10 24)( 9 18 25)(13)(14 22 21) ( 1 16)( 2 20)( 3 12)( 4 7)( 5 24)( 6 17)( 8 11)( 9 19)(10 25)(13)(14 23)(15 21)(18 22) ( 1 17 7)( 2 21 16)( 3 9 20)( 4 8 12)( 5 25 11)( 6 14 24)(10 22 19)(13)(15 18 23) ( 1 19)( 2 11)( 3 6)( 4 15)( 5 16)( 7 10)( 8 23)( 9 24)(12 18)(13)(14 20)(17 22)(21 25) ( 1 20 15)( 2 12 19)( 3 7 11)( 4 16 6)( 5 17 23)( 8 24 10)( 9 25 18)(13)(14 21 22) ( 1 21 23 6)( 2 9 22 15)( 3 8 25 19)( 4 17 24 11)( 5 14 18 10)( 7 12 20 16)(13) ( 1 22)( 2 25)( 3 24)( 4 23)( 5 21)( 6 20)( 7 19)( 8 18)( 9 14)(10 17)(11 16)(12 15)(13) ( 1 23)( 2 22)( 3 25)( 4 24)( 5 18)( 6 21)( 7 20)( 8 19)( 9 15)(10 14)(11 17)(12 16)(13) ( 1 25)( 2 24)( 3 23)( 4 22)( 5 20)( 6 19)( 7 18)( 8 21)( 9 17)(10 16)(11 15)(12 14)(13) S4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 26 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26) ( 1 26)( 2 25)( 3 23)( 4 22)( 5 24)( 6 18)( 7 21)( 8 20)( 9 19)(10 15)(11 14)(12 17)(13 16) ( 1)( 2 4)( 3 5)( 6 9)( 7 8)(10 13)(11 12)(14 17)(15 16)(18 19)(20 21)(22 25)(23 24)(26) ( 1)( 2 5 4 3)( 6 8 9 7)(10 12 13 11)(14 16 17 15)(18 21 19 20)(22 24 25 23)(26) ( 1)( 2 3 4 5)( 6 7 9 8)(10 11 13 12)(14 15 17 16)(18 20 19 21)(22 23 25 24)(26) ( 1 26)( 2 24)( 3 25)( 4 23)( 5 22)( 6 20)( 7 18)( 8 19)( 9 21)(10 17)(11 15)(12 16)(13 14) ( 1 26)( 2 23)( 3 22)( 4 24)( 5 25)( 6 21)( 7 19)( 8 18)( 9 20)(10 14)(11 16)(12 15)(13 17) ( 1 26)( 2 22)( 3 24)( 4 25)( 5 23)( 6 19)( 7 20)( 8 21)( 9 18)(10 16)(11 17)(12 14)(13 15) dihedral O 8 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry" 0.050 N= 27 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27) ( 1)( 2 3)( 4 5)( 6)( 7)( 8 9)(10 11)(12 13)(14 15)(16)(17 18)(19)(20 21)(22)(23 24)(25 26)(27) mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 28 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 29 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.005 N= 30 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30) ( 1)( 2 3)( 4 5)( 6 7)( 8 9)(10 13)(11 12)(14 15)(16 17)(18 21)(19 20)(22 23)(24 25)(26 29)(27 28)(30) cyclic O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry" 0.064 N= 31 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31) ( 1)( 2)( 3 4)( 5 6)( 7 9)( 8)(10 11)(12 13)(14 15)(16 20)(17 19)(18)(21 22)(23 24)(25 26)(27)(28 29)(30)(31) mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.015 N= 32 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32) ( 1)( 2 3)( 4)( 5 7)( 6)( 8 12)( 9 11)(10 13)(14 15)(16)(17 19)(18)(20 24)(21 23)(22 25)(26)(27 29)(28)(30 31)(32) ( 1)( 2 4)( 3)( 5)( 6 7)( 8 13)( 9 12)(10 11)(14 16)(15)(17)(18 19)(20 25)(21 24)(22 23)(26)(27)(28 29)(30 32)(31) ( 1)( 2 3 4)( 5 6 7)( 8 9 10)(11 12 13)(14 15 16)(17 18 19)(20 21 22)(23 24 25)(26)(27 28 29)(30 31 32) ( 1)( 2)( 3 4)( 5 6)( 7)( 8 11)( 9 13)(10 12)(14)(15 16)(17 18)(19)(20 23)(21 25)(22 24)(26)(27 28)(29)(30)(31 32) ( 1)( 2 4 3)( 5 7 6)( 8 10 9)(11 13 12)(14 16 15)(17 19 18)(20 22 21)(23 25 24)(26)(27 29 28)(30 32 31) dihedral O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 33 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "can this be made symmetric?" 0.120 N= 34 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34) ( 1)( 2 3 4)( 5 7 6)( 8 10 9)(11 13 12)(14 16 15)(17 19 18)(20 24 21)(22 23 25)(26 28 27)(29 31 30)(32 34 33) ( 1)( 2 4 3)( 5 6 7)( 8 9 10)(11 12 13)(14 15 16)(17 18 19)(20 21 24)(22 25 23)(26 27 28)(29 30 31)(32 33 34) cyclic O 3 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry" 0.065 N= 35 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35) ( 1)( 2)( 3 7)( 4 6)( 5)( 8)( 9 10)(11 14)(12 13)(15 16)(17)(18 19)(20)(21 24)(22 23)(25 26)(27 28)(29)(30 31)(32 33)(34)(35) mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.002 N= 36 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36) ( 1 2)( 3 4)( 5 6)( 7 8)( 9 10)(11 12)(13 14)(15 16)(17 18)(19 20)(21 22)(23 24)(25 26)(27 28)(29 30)(31 32)(33 34)(35 36) cyclic O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.008 N= 37 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37) ( 1)( 2 5)( 3 4)( 6 9)( 7 8)(10 11)(12 13)(14 17)(15 16)(18 20)(19 21)(22 25)(23 24)(26 29)(27 28)(30 33)(31 32)(34 37)(35 36) ( 1)( 2 4 5 3)( 6 7 9 8)(10 12 11 13)(14 15 17 16)(18 19 20 21)(22 23 25 24)(26 27 29 28)(30 31 33 32)(34 35 37 36) ( 1)( 2 3 5 4)( 6 8 9 7)(10 13 11 12)(14 16 17 15)(18 21 20 19)(22 24 25 23)(26 28 29 27)(30 32 33 31)(34 36 37 35) cyclic O 4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 38 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38) ( 1)( 2 5 4 3)( 6 8 9 7)(10 11 13 12)(14 16 17 15)(18 19 20 21)(22 23 24 25)(26 27 29 28)(30 31 32 33)(34 36 37 35)(38) ( 1)( 2 4)( 3 5)( 6 9)( 7 8)(10 13)(11 12)(14 17)(15 16)(18 20)(19 21)(22 24)(23 25)(26 29)(27 28)(30 32)(31 33)(34 37)(35 36)(38) ( 1)( 2 3 4 5)( 6 7 9 8)(10 12 13 11)(14 15 17 16)(18 21 20 19)(22 25 24 23)(26 28 29 27)(30 33 32 31)(34 35 37 36)(38) cyclic O 4 0.018 N= 38 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38) ( 1 19)( 2 10)( 3 16)( 4 27)( 5 22)( 6 8)( 7 31)( 9 30)(11 14)(12 23)(13 35)(15 34)(17 26)(18 20)(21 38)(24 37)(25 29)(28 36)(32 33) ( 1 20)( 2 17)( 3 29)( 4 23)( 5 11)( 6 32)( 7 31)( 8 9)(10 24)(12 34)(13 16)(14 36)(15 27)(18 38)(19 21)(22 28)(25 35)(26 37)(30 33) ( 1)( 2 5 4 3)( 6 8 9 7)(10 11 13 12)(14 16 17 15)(18 19 20 21)(22 23 24 25)(26 27 29 28)(30 31 32 33)(34 36 37 35)(38) ( 1)( 2 4)( 3 5)( 6 9)( 7 8)(10 13)(11 12)(14 17)(15 16)(18 20)(19 21)(22 24)(23 25)(26 29)(27 28)(30 32)(31 33)(34 37)(35 36)(38) ( 1)( 2 3 4 5)( 6 7 9 8)(10 12 13 11)(14 15 17 16)(18 21 20 19)(22 25 24 23)(26 28 29 27)(30 33 32 31)(34 35 37 36)(38) ( 1 18 19)( 2 12 22)( 3 14 10)( 4 26 16)( 5 25 27)( 6)( 7 30 8)( 9 33 31)(11 15 35)(13 37 23)(17 28 34)(20 21 38)(24 36 29)(32) ( 1 19 20)( 2 16 11)( 3 27 17)( 4 22 29)( 5 10 23)( 6 31 9)( 7 30 32)( 8)(12 35 24)(13 14 34)(15 26 36)(18 38 21)(25 37 28)(33) ( 1 20 19)( 2 11 16)( 3 17 27)( 4 29 22)( 5 23 10)( 6 9 31)( 7 32 30)( 8)(12 24 35)(13 34 14)(15 36 26)(18 21 38)(25 28 37)(33) ( 1 21 20)( 2 15 29)( 3 28 23)( 4 24 11)( 5 13 17)( 6 33 31)( 7 32 8)( 9)(10 25 34)(12 36 16)(14 37 27)(18 38 19)(22 26 35)(30) ( 1 21 38 19)( 2 13 36 27)( 3 15 37 22)( 4 28 35 10)( 5 24 34 16)( 6 7 33 30)( 8 9 32 31)(11 17 29 23)(12 25 26 14)(18)(20) ( 1 18 38 20)( 2 14 35 23)( 3 26 34 11)( 4 25 36 17)( 5 12 37 29)( 6 30 31 8)( 7 33 32 9)(10 22 27 16)(13 15 28 24)(19)(21) A4 0.023 N= 38 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38) ( 1 21 18)( 2 24 26)( 3 13 25)( 4 15 12)( 5 28 14)( 6 9 33)( 7)( 8 32 30)(10 17 37)(11 36 22)(16 29 35)(19 20 38)(23 34 27)(31) ( 1 18 21)( 2 26 24)( 3 25 13)( 4 12 15)( 5 14 28)( 6 33 9)( 7)( 8 30 32)(10 37 17)(11 22 36)(16 35 29)(19 38 20)(23 27 34)(31) ( 1 19)( 2 10)( 3 16)( 4 27)( 5 22)( 6 8)( 7 31)( 9 30)(11 14)(12 23)(13 35)(15 34)(17 26)(18 20)(21 38)(24 37)(25 29)(28 36)(32 33) ( 1 38)( 2 37)( 3 35)( 4 34)( 5 36)( 6 30)( 7 31)( 8 33)( 9 32)(10 26)(11 28)(12 27)(13 29)(14 22)(15 23)(16 25)(17 24)(18 19)(20 21) ( 1 20)( 2 17)( 3 29)( 4 23)( 5 11)( 6 32)( 7 31)( 8 9)(10 24)(12 34)(13 16)(14 36)(15 27)(18 38)(19 21)(22 28)(25 35)(26 37)(30 33) ( 1 18)( 2 25)( 3 12)( 4 14)( 5 26)( 6 7)( 8 33)( 9 30)(10 15)(11 37)(13 22)(16 28)(17 35)(19 21)(20 38)(23 36)(24 27)(29 34)(31 32) ( 1 19 38 21)( 2 27 36 13)( 3 22 37 15)( 4 10 35 28)( 5 16 34 24)( 6 30 33 7)( 8 31 32 9)(11 23 29 17)(12 14 26 25)(18)(20) ( 1)( 2 5 4 3)( 6 8 9 7)(10 11 13 12)(14 16 17 15)(18 19 20 21)(22 23 24 25)(26 27 29 28)(30 31 32 33)(34 36 37 35)(38) ( 1 19 18)( 2 22 12)( 3 10 14)( 4 16 26)( 5 27 25)( 6)( 7 8 30)( 9 31 33)(11 35 15)(13 23 37)(17 34 28)(20 38 21)(24 29 36)(32) ( 1 20 21)( 2 29 15)( 3 23 28)( 4 11 24)( 5 17 13)( 6 31 33)( 7 8 32)( 9)(10 34 25)(12 16 36)(14 27 37)(18 19 38)(22 35 26)(30) ( 1)( 2 4)( 3 5)( 6 9)( 7 8)(10 13)(11 12)(14 17)(15 16)(18 20)(19 21)(22 24)(23 25)(26 29)(27 28)(30 32)(31 33)(34 37)(35 36)(38) ( 1 20 38 18)( 2 23 35 14)( 3 11 34 26)( 4 17 36 25)( 5 29 37 12)( 6 8 31 30)( 7 9 32 33)(10 16 27 22)(13 24 28 15)(19)(21) ( 1 21)( 2 28)( 3 24)( 4 13)( 5 15)( 6 32)( 7 9)( 8 33)(10 36)(11 25)(12 17)(14 29)(16 37)(18 20)(19 38)(22 34)(23 26)(27 35)(30 31) ( 1)( 2 3 4 5)( 6 7 9 8)(10 12 13 11)(14 15 17 16)(18 21 20 19)(22 25 24 23)(26 28 29 27)(30 33 32 31)(34 35 37 36)(38) ( 1 38)( 2 36)( 3 37)( 4 35)( 5 34)( 6 33)( 7 30)( 8 32)( 9 31)(10 28)(11 29)(12 26)(13 27)(14 25)(15 22)(16 24)(17 23)(18)(19 21)(20) ( 1 18 19)( 2 12 22)( 3 14 10)( 4 26 16)( 5 25 27)( 6)( 7 30 8)( 9 33 31)(11 15 35)(13 37 23)(17 28 34)(20 21 38)(24 36 29)(32) ( 1 19 20)( 2 16 11)( 3 27 17)( 4 22 29)( 5 10 23)( 6 31 9)( 7 30 32)( 8)(12 35 24)(13 14 34)(15 26 36)(18 38 21)(25 37 28)(33) ( 1 38)( 2 35)( 3 34)( 4 36)( 5 37)( 6 31)( 7 32)( 8 30)( 9 33)(10 27)(11 26)(12 29)(13 28)(14 23)(15 24)(16 22)(17 25)(18 20)(19)(21) ( 1 20 19)( 2 11 16)( 3 17 27)( 4 29 22)( 5 23 10)( 6 9 31)( 7 32 30)( 8)(12 24 35)(13 34 14)(15 36 26)(18 21 38)(25 28 37)(33) ( 1 21 20)( 2 15 29)( 3 28 23)( 4 24 11)( 5 13 17)( 6 33 31)( 7 32 8)( 9)(10 25 34)(12 36 16)(14 37 27)(18 38 19)(22 26 35)(30) ( 1 38)( 2 34)( 3 36)( 4 37)( 5 35)( 6 32)( 7 33)( 8 31)( 9 30)(10 29)(11 27)(12 28)(13 26)(14 24)(15 25)(16 23)(17 22)(18 21)(19 20) ( 1 21 38 19)( 2 13 36 27)( 3 15 37 22)( 4 28 35 10)( 5 24 34 16)( 6 7 33 30)( 8 9 32 31)(11 17 29 23)(12 25 26 14)(18)(20) ( 1 18 38 20)( 2 14 35 23)( 3 26 34 11)( 4 25 36 17)( 5 12 37 29)( 6 30 31 8)( 7 33 32 9)(10 22 27 16)(13 15 28 24)(19)(21) S4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 39 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 40 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 41 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.036 N= 42 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42) ( 1 2)( 3 4)( 5 8)( 6 7)( 9 10)(11 12)(13 14)(15 16)(17 18)(19 20)(21 22)(23 24)(25 26)(27 28)(29 30)(31 32)(33 34)(35 36)(37 38)(39 40)(41 42) cyclic O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 43 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 44 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 45 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry" 0.090 N= 46 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46) ( 1 2)( 3 4)( 5 6)( 7 8)( 9 10)(11 12)(13 14)(15 16)(17 18)(19 20)(21 22)(23 24)(25 26)(27 28)(29 30)(31 32)(33 34)(35 36)(37 38)(39 40)(41 42)(43 44)(45 46) cyclic O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 47 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 48 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 49 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 50 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 51 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7..